Assalamu;alaikum,,warahmatullahiwabarakatuh

Ahlan Wasahlan pi al khobarii

ma'annajah li jami'an....

Minggu, 25 Desember 2011

Karakteristik PMRI (Pendidikan Matematika Realistik Indonesia)

Karakteristik PMRI (Pendidikan Matematika Realistik Indonesia)

oleh: Y. Marpaung

Pembelajaran matematika (lama), yang sampai sekarang pada umumnya masih berlangsung di sekolah (kecuali sekolah mitra PMRI), didominasi paradigma lama yaitu paradigma mengajar dengan ciri-ciri sebagai berikut:
  1. guru aktif mentransfer pengetahuan kepikiran siswa (guru mengajari siswa),
  2. siswa menerima pengetahuan secara pasif (murid berusaha menghafalkan pengetahuan yang diterima),
  3. pembelajaran dimulai oleh guru dengan menjelaskan konsep atau prosedur menyelesaikan soal, memberi soal-soal latihan pada siswa;
  4. memeriksa dan memberi skor pada pekerjaan siswa,
  5. memberi penjelasan lagi atau memberi tugas pekerjaan rumah pada siswa.

Karena PMRI merupakan adaptasi dari RME maka prinsip PMRI sama dengan prinsip RME tetapi dalam beberapa hal berbeda dengan RME karena konteks, budaya, sistem sosial dan alamnya berbeda. Gravemeijer (1994) merumuskan tiga prinsip RME yaitu:
  1. Reinvensi terbimbing dan matematisasi berkelanjutan (guided reinvention and progressive mathematization),
  2. fenomenologi didaktis (didactical phenomenology) dan
  3. dari informal ke formal (from informal to formal mathematics; model plays in bridging the gap between informal knowledge and formal mathematics) (Gravemeijer 1994, dalam Armanto, 2002, h. 30 – 33).

Sedangkan van den Heuvel-Panhuizen (1996) merumuskannya sebagai berikut:

  1. Prinsip aktivitas, yaitu bahwa matematika adalah aktivitas manusia. Si pebelajar harus aktif baik secara mental maupun fisik dalam pembelajaran matematika. Si pebelajar bukan insan yang pasif menerima apa yang disampaikan oleh guru, tetapi aktif baik secara fisik, teristimewa secara mental mengolah dan menganalisis informasi, mengkonstruksi pengetahuan matematika.
  2. Prinsip realitas, yaitu pembelajaran seyogianya dimulai dengan masalah-masalah yang realistik bagi siswa, yaitu dapat dibayangkan oleh siswa. Masalah yang realistik lebih menarik bagi siswa dari masalah-masalah matematis formal tanpa makna. Jika pembelajaran dimulai dengan masalah yang bermakna bagi mereka, siswa akan tertarik untuk belajar. Secara gradual siswa kemudian dibimbing ke masalah-masalah matematis formal.
  3. Prinsip berjenjang, artinya dalam belajar matematika siswa melewati berbagai jenjang pemahaman, yaitu dari mampu menemukan solusi suatu masalah kontekstual atau realistik secara informal, melalui skematisasi memperoleh insight tentang hal-hal yang mendasar sampai mampu menemukan solusi suatu masalah matematis secara formal. Model bertindak sebagai jembatan antara yang informal dan yang formal. Model yang semula merupakan model suatu situasi berubah melalui abtraksi dan generalisasi menjadi model untuk semua masalah lain yang ekuivalen.
  4. Prinsip jalinan, artinya berbagai aspek atau topik dalam matematika jangan dipandang dan dipelajari sebagai bagian-bagian yang terpisah, tetapi terjalin satu sama lain sehingga siswa dapat melihat hubungan antara materi-materi itu secaa lebih baik. Konsep matematika adalah relasi-relasi. Secara psikologis, hal-hal yang berkaitan akan lebih mudah dipahami dan dipanggil kembali dari ingatan jangka panjang daripada hal-hal yang terpisah tanpa kaitan satu sama lain.
  5. Prinsip interaksi, yaitu matematika dipandang sebagi aktifitas sosial. Kepada siswa perlu dan harus diberikan kesempatan menyampaikan strateginya menyelesai-kan suatu masalah kepada yang lain untuk ditanggapi, dan menyimak apa yang ditemukan orang lain dan strateginya menemukan hal itu serta menanggapinya. Melalui diskusi, pemahaman siswa tentang suatu masalah atau konsep menjadi lebih mendalam dan siswa terdorong untuk melakukan refleksi yang memungkinkan dia menemukan insight untuk memperbaiki strateginya atau menemukan solusi suatu masalah.
  6. Prinsip bimbingan, yaitu siswa perlu diberikan kesempatan untuk “menemukan kembali (re-invent) ” pengetahuan matematika‘terbimbing’. Guru menciptakan kondisi belajar yang memungkinkan siswa mengkonstruk pengetahuan matematika mereka.

Kami, khususnya tim PMRI USD, menginterpretasinya, mengembangkannya dalam kondisi sosial dan budaya Indonesia, menjabarkannya dan mencoba mempraktekkannya di kelas. Berikut adalah karakteristik PMRI:
  1. Murid aktif, guru aktif ( Matematika sbg aktivitas manusia).
  2. Pembelajaran sedapat mungkin dimulai dengan menyajikan masalah kontekstual/ realistik.
  3. Guru memberi kesempatan pada siswa menyelesaikan masalah dengan cara sendiri.
  4. Guru menciptakan suasana pembelajaran yang menyenangkan.
  5. Siswa dapat menyelesaikan masalah dalam kelompok (kecil atau besar).
  6. Pembelajaran tidak selalu di kelas (bisa di luar kelas, duduk di lantai, pergi ke luar sekolah untuk mengamati atau mengumpulkan data).
  7. Guru mendorong terjadinya interaksi dan negosiasi, baik antara siswa dan siswa, juga antara siswa dan guru.
  8. Siswa bebas memilih modus representasi yang sesuai dengan struktur kognitifnya sewaktu menyelesaikan suatu masalah (Menggunakan model).
  9. Guru bertindak sebagai fasilitator (Tut Wuri Handayani).
  10. Kalau siswa membuat kesalahan dalam menyelesaikan masalah jangan dimarahi tetapi dibantu melalui pertanyaan-pertanyaan dan usaha mereka hendaknya dihargai. (Gunakan pendekatan Sani, praktekkan tepa selira dan ngewongké wong).

Konsepsi Pendidikan Matematika Realistik Indonesia(PMRI)

Konsepsi Pendidikan Matematika Realistik Indonesia(PMRI)  


Dikemukakan oleh Sutarto Hadi (2003: 2) bahwa teori PMRI sejalan
dengan teori belajar yang berkembang saat ini, seperti konstruktivisme
dan pembelajaran kontekstual (CTL). Namun baik konstruktivisme
maupun pembelajaran kontekstual mewakili teori belajar secara umum,
sedangkan PMRI suatu teori pembelajaran yang dikembangkan khusus
untuk matematika. Juga telah disebutkan terdahulu, bahwa konsep
matematika realistik ini sejalan dengan kebutuhan untuk memperbaiki
pendidikan matematika di Indonesia yang didominasi oleh persoalan
bagaimana meningkatkan pemahaman siswa tentang matematika dan
mengembangkan daya nalar. Lebih lanjut berkaitan dengan konsepsi
PMRI ini, Sutarto Hadi mengemukakan beberapa konsepsi PMRI tentang
siswa, guru dan pembelajaran yang mempertegas bahwa PMRI sejalan
dengan paradigma baru pendidikan, sehingga PMRI pantas untuk
dikembangkan di Indonesia.
a. Konsepsi PMRI tentang siswa adalah sebagai berikut.
1) Siswa memiliki seperangkat konsep alternatif tentang ide-ide
matematika yang mempengaruhi belajar selanjutnya;
2) Siswa memperoleh pengetahuan baru dengan membentuk
pengetahuan itu untuk dirinya sendiri;   3) Pembentukan pengetahuan merupakan proses perubahan yang
meliputi penambahan, kreasi, modifikasi, penghalusan,
penyusunan kembali dan penolakan;
4) Pengetahuan baru yang dibangun oleh siswa untuk dirinya
sendiri berasal dari seperangkat ragam pengalaman;
5) Setiap siswa tanpa memandang ras, budaya dan jenis kelamin
mampu memahami dan mengerjakan matematik.
b. Konsepsi PMRI tentang guru adalah sebagai berikut.
1) Guru hanya sebagai fasilitator dalam pembelajaran;

2) Guru harus mampu membangun pembelajaran yang interaktif;
3) Guru harus memberikan kesempatan kepada siswa untuk
secara aktif terlibat pada proses pembelajaran dan secara aktif
membantu siswa dalam menafsirkan persoalan riil; dan
4) Guru tidak terpancang pada materi yang ada didalam
kurikulum, tetapi aktif mengaitkan kurikulum dengan dunia riil,
baik fisikmaupun sosial.
c. Konsepsi PMRI tentang pembelajaran Matematika meliputi aspekaspek
berikut.
1) Memulai pembelajaran dengan mengajukan masalah (soal) yang
’riil’ bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat
pengetahuannya, sehingga siswa segera terlibat dalam
pembelajaran secara bermakna.
2) Permasalahan yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai
dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pembelajaran tersebut;
3) Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model
simbolik secara informal terhadap persoalan/permasalahan
yang diajukan;
4) Pembelajaran berlangsung secara interaktif, siswa menjelaskan
dan memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya,
memahami jawaban temannya (siswa lain), setuju terhadap
jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari
alternatif penyelesaian yang lain, dan melakukan refleksi
terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil
pembelajaran.

Senin, 19 Desember 2011

Matematika dalam Al-Quran


Menelisik Matematika Dalam Al-Qur'an





TANGGAL 17 bulan Ramadan kemarin diperingati sebagai malam turunnya Alquran. Alquran merupakan mukjizat terbesar yang diturunkan Allah SWT kepada Nabi Muhammad saw. Sudah banyak bukti yang menerangkan kemukjizatan Alquran, baik dari segi tata bahasa maupun isinya. Pada bagian ini penulis hendak menyoroti kemukjizatan Al-quran dari segi matematika.
Di sebagian benak kita, sudah dianggap umum agama " itu tidak ada hubungannya dengan masalah iptek. Padahal, jika dicermati lebih jauh, Alquran memuat segala sesuatu. Dalam firmannya Allah SWT menyatakan tidak ada sesuatu apa pun yang aku tinggalkan dalam Alquran. Hal ini berlaku juga dengan ilmu matematika. Anggapan kita matematika itu tidak ada hubungan sama sekali dengan Alquran. Apakah anggapan ini benar? Jika kita cermati, banyak surat dalam Alquran yang berbicara mengenai matematika.
Dalam Alquran ada matematika yang dibahas secara tersurat. Contohnya, masalah pecahan disebutkan dalam surat Annisa. Dalam surat ini bilangan pecahan secara eksplisit disebutkan dalam hal pembagian warisan. Masalah waktu juga menjadi hal yang paling sering dibahas dalam Alquran.
Secara tersirat Alquran pun menunjukkan matematika yang mencengangkan. Seorang peneliti Muslim Dr. Tariq Al-Suwaidan menemukan data menakjubkan tentang Alquran. Salah satunya, ia menemukan fakta banyak kata Al-Bahar (Lautan) ada 32 dan kata Al-Bar (Daratan) ada 13. Jika banyak kata ini dibagi dengan banyak dua kata tersebut diperoleh = 71,2% dan = 28,8%. Fakta ini sama dengan pengetahuan masa kini yang menyatakan luas lautan adalah 71,2 % dan luas daratan 28,8%.
Dr. Tariq Al-Suwaidan juga menemukan data tentang keteraturan dari kata yang ada dalam Alquran. Banyak kata yang berlawanan dalam Alquran adalah sama. Contohnya, Kata Ad-Dunya (dunia) banyaknya ada 115, sama dengan banyak lawan dari kata tersebut, yaitu Al-Akhira (akhirat).

Nisbah emas

Dalam salah satu ayatnya, Allah SWT menerangkan Allah menciptakan segala sesuatu dengan perhitungan yang sangat cermat. Ingin mengetahui salah satu bukti dari ayat ini? Uraian berikut menunjukkan kebenaran ayat ini.
Coba ukur tinggi badan dan tinggi dari bahu sampai ujung kaki. Berapakah perbandingan antara tinggi badan dan tinggi dari bahu sampai ujung kaki? Sekarang, ukur lagi panjang tangan. Ukur pula panjang dari siku sampai ujung tangan. Berapakah perbandingannya? Jika teliti, akan ditemukan perbandingan dua kasus ini sama, yaitu 1,618: 1. Subhanalloh maha besar Allah yang telah membuat ciptaannya dengan perhitungan yang akurat.
Perbandingan seperti ini disebut nisbah emas. Nisbah emas ini juga dapat ditemukan di alam, seperti kelopak bunga dan cangkang kerang.
Perbandingan ini merupakan perbandingan yang paling enak untuk dipandang mata. Para seniman dan arsitek telah lama menggunakan nisbah ini dalam membangun sebuah bangunan. Contohnya, perbandingan panjang alas piramida Gizeh dan tingginya menganut nisbah ini. Malahan, pelukis terkenal Leonardo Da Vinci selalu menggunakan perbandingan ini dalam setiap karyanya. Pada lukisan Monalisa, perbandingan antara daerah di kanan dan kiri wajah menganut perbandingan ini.

Matematika island

Sejak 1997 negara kita telah dilanda krisis ekonomi hingga saat ini. Salah satu hal penting yang menyebabkan terjadinya krisis ini adalah krisis moral. Korupsi dan nepotisme telah menjadi hal yang biasa. Untuk mengatasi krisis moral ini bukanlah perkara yang mudah. Semua pihak yang terkait harus berusaha semaksimal mungkin untuk memperbaiki kualitas moral bangsa ini. Salah satu upaya yang penting adalah melalui pendidikan di sekolah.
Akan tetapi, yang menjadi masalah adalah masih adanya jurang pemisah yang sangat lebar antara pelajaran dan moral (agama). Di benak kebanyakan siswa, ada anggapan ilmu pengetahuan dan agama itu sesuatu yang sangat terpisah. Ilmu pengetahuan tidak ada hubungannya dengan masalah agama. Begitu juga dengan agama yang tidak berhubungan dengan ilmu pengetahuan. Terlebih Lagi dengan pelajaran matematika dan Islam itu sangat erat hubungannya. Faktanya, sejumlah surat dalam Alquran mengandung matematika. Beberapa penelitian matematika sekarang membuktikan kebenaran Al-quran.
Untuk menepis anggapan seperti ini, perlu diberikan pembelajaran matematika yang memadukan antara matematika dan agama. Pembelajaran seperti ini sangat cocok diajarkan di SDIT, SMPIT, dan SMATT. Bagaimana cara mengajarkan matematika yang islami. Ada beberapa cara yang dapat dilakukan. Hal yang pertama adalah menggunakan masalah konteks agama untuk memulai menerangkan matematika.
Masalahnya bisa berupa manfaat yang diperoleh siswa yang berkaitan dengan masalah agama. Contohnya untuk mempelajari pecahan, siswa diajak untuk melihat masalah waris dalam surat Annisa. Dalam surat ini tertera dengan jelas mengenai pentingnya menguasai masalah perhitungan dengan pecahan. Selain itu, masalah pecahan pun diperlukan dalam perhitungan zakat.
Contoh lainnya dalam mengenalkan aturan operasi hitung campuran. Aturan ini berisi urutan mengerjakan soal yang ada beberapa operasi hitung. Biasanya aturan ini langsung diberikan kepada siswa tanpa diberi makna atau manfaatnya. Ada baiknya jika aturan ini dijelaskan dengan cara menganalogikan dengan cara berpakaian. Menurut sebuah hadis, pada saat berpakaian kita dianjurkan mendahulukan bagian kanan daripada bagian kiri. Aturan seperti ini merupakan aturan yang sudah diterima dan dilakukan oleh kita semua.
Dalam matematika, aturan yang seperti ini juga ada. Aturan inilah yang disebut urutan pengerjaan hitung campuran. Masih banyak lagi masalah konteks agama yang dapat dijadikan sebagai pemantik untuk mempelajari matematika.
Cara kedua memberikan fakta-fakta yang menunjukkan kebesaran Allah SWT. Contohnya Cheetah termasuk binatang ciptaan Allah yang kecepatan larinya tercepat. Kecepatan larinya bisa mencapai 102 km/jam. Walaupun demikian, manusia telah dianugerahi Tuhan otak untuk berpikir. Manusia dapat membuat kendaraan yang kecepatannya melebihi kecepatan Cheetah, seperti mobil dan pesawat terbang. Subhanalloh, mahabesar Allah yang telah menganugerahi kita otak untuk berpikir. Sungguhlah benar firmannya: manusia itu diciptakan dalam keadaan yang sempurna. Cara ketiga memberikan cerita matematika yang menggugah siswa. Cerita berikut dapat dijadikan acuan.
Matematika Membuktikan: Bekerjasama Lebih Menguntungkan Daud akan membagikan tanahnya seluas 40.000 m2 pada dua pegawainya yang saling membenci, Firman dan Yusuf. Daud berpikir bahwa manusia bersifat serakah. Oleh karena itu, pembagian yang macam apa pun, pasti dianggap tidak adil. Sebaliknya, kalau dibiarkan mereka yang membagi tanah itu, pasti mereka akan saling membunuh. Cara terbaik membiarkan keserakahan itu berjalan dan mereka lihat apa hasilnya, pikir Daud. Daud memanggil kedua pegawainya dan memberikan masing- masing seutas tali yang panjangnya 400 m. "Kalian mendapatkan tanah seluas yang dapat kalian batasi dengan tali-tali tersebut," kata Daud. Firman dan Yusuf segera pergi bersemangat dan berpacu membentangkan tali mengelilingi tanah itu seluas mungkin sebagai batas miliknya. Hasilnya diperlihatkan pada Gambar 1.
Ternyata, Firman berhasil membentangkan tali itu membentuk sebidang tanah dengan luas 120 m" 80 m = 9.600 m2. Adapun Yusuf berhasil mendapatkan 40 m" 160 m = 6.400 m2. Total luas tanah mereka adalah 16.000 m2. Padahal, luas tanah yang tersedia 40.000 m2. Sementara itu, Firman mendapat tanah yang lebih luas dan Yusuf menyesali kebodohannya.
"Kembalilah!" kata Daud ketika keduanya menghadap. "Bentangkan tali itu sekali lagi supaya kalian bisa mendapatkan lebih banyak. Jangan merasa terlalu cepat puas," kata Daud. Mereka pun kembali. Setelah mencoba-coba merentangkan tali-tali itu dengan berbagai cara, mereka menyadari bahwa luas tanah maksimum yang mungkin mereka peroleh adalah jika panjang tanah sama dengan lebar tanah.Oleh karena panjang tali yang 400 m itu merupakan keliling tanah, maka panjang dai lebar tanah yang memberikan luas maksimum adalah 100 m Jadi, masing-masing memperoleh tanah seluas 100 m x 100 m = 10.000 m2. Luas tanah keduanya menjadi 20.000 m2 Padahal, tanah yang akan diberikan 40.000 m2, berarti ada sisa 20.000 m2 lagi.
Daud berkata, kembalilah ke tanah itu. Bentangkan tali itu sekali lagi karena kalian bisa mendapat lebih banyak lagi. Firman dan Yusuf menjelaskan bahwa menurut hukum matematika tidak mungkin mendapat tanah yang lebih luas dari 10.000 m2. Ya, kata Daud. Akan tetapi, kalian melupakan hukum matematika yang lain. Kembalilah kalian pasti bisa mendapatkan lebih banyak. Kata Baud. Bagaimana mungkin?
Setelah berpikir beberapa saat, Firman dan Yusuf tiba-tiba menyadari kedunguan mereka. Keserakahan telah menutupi hati mereka. Sebenarnya, mereka bisa mendapatkan tanah yang lebih luas jika keduanya berjabatan tangan bekerja sama. Caranya kedua tali ini disambungkan sehingga panjangnya menjadi 800 m. Dengan begitu, panjang dan lebar tanah yang memberi luas maksimal adalah 200 m. Dengan ukuran ini, luas tanah yang diperoleh menjadi 200 m x 200 m = 40.000 m2. Firman dan Yusuf berpelukan. Kini mereka mendapat tanah yang lebih luas, masing-masing 20.000 m2.

Takhayul

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar hal-hal yang tidak masuk akal. Misalnya, jika ada suara burung uncuing, itu tandanya akan ada yang meninggal. Mengapa masalah takhayul itu dilarang agama? Uraian berikut merupakan salah satu penjelasan mengapa hal tersebut dilarang.
Di dalam psikologi ada yang dinamakan dengan falacy of dramatic instan. Keadaan ini merupakan suatu kesalahan dalam proses berpikir, seseorang terlalu cepat menyimpulkan sesuatu. Dengan melihat beberapa polanya, seseorang yang mengidap keadaan ini cepat menyimpulkan. Proses terjadinya takhayul ini mirip dengan keadaan ini. Suatu takhayul dijadikan suatu kebenaran karena seseorang mengalami hal ini, beberapa kali, lalu menyimpulkannya.
Dalam matematika kita mengenal suatu prinsip yang dinamakan induksi matematika. Prinsip ini digunakan untuk membuktikan suatu rumus atau aturan berlaku secara umum. Dengan prinsip ini, suatu aturan tidak bisa sekaligus berlaku secara umum. Ada beberapa tahapan yang diperlukan agar rumus ini berlaku secara umum. Dengan begitu, orang yang mengetahui prinsip ini akan berhati-hati dalam menyimpulkan sesuatu. Masalah takhayul yang masih banyak terjadi di masyarakat mungkin takkan terjadi jika setiap orang memahami prinsip ini.
Pernahkah membaca ramalan bintang di majalah? Atau pernahkah menonton paranormal yang meramalkan masa depan? Ketika kita membaca ramalan bintang, kadang ada beberapa bagian dari ramalan si peramal yang isinya persis sama seperti yang kita alami. Dengan adanya beberapa bagian yang isinya mirip dengan apa yang terjadi pada kita, lantas kita percaya pada ramalan tersebut. Padahal, hal ini dapat merusak iman kita. Dengan jelas Alquran melarang hal tersebut karena sudah masuk dalam kemusyrikan. Mengapa peramal tersebut dapat meramalkan beberapa bagian yang benar? Mengapa hal ini bisa terjadi? Padahal, kita tahu yang membuat ramalan bintang itu manusia. Ia bukanlah Tuhan yang tahu apa yang terjadi di masa depan.
Untuk mengetahui jawaban ini, kita akan menganalisisnya dengan menggunakan prinsip yang ada dalam matematika. Dalam matematika ada suatu prinsip yang dikenal dengan prinsip burung merpati (pigeon hole principal). Prinsip ini menyatakan jika ada 3 sarang dan 4 burung merpati, pasti ada satu sarang yang berisi lebih dari 1 merpati.
Misalkan, kita analogikan manusia dengan merpati serta keadaan yang akan terjadi pada manusia (takdir) dengan sarangnya. Tentu saja manusia akan lebih banyak daripada takdirnya. Misalnya, kita anggap ada 100 juta orang dewasa di Indonesia. Adapun takdirnya mengenai masalah kesehatan hanya ada tiga kemungkinan, yaitu sehat, kurang sehat, dan sakit. Oleh karena manusianya (merpati) ada 100 juta, sedangkan sarangnya, hanya ada 3 tentu saja pasti ada orang yang takdirnya akan sama. Dengan begitu, pasti ada orang yang takdirnya sama. (Taofik Hidayat, S.Si., Mahasiswa S-2 Matematika ITB)***

Rabu, 14 Desember 2011

Makalah Statistika ( Distribusi binomial dan Poisoon)


Distribusi Binomial dan Poisson

Pembahasan
1.      Distribusi Binomial
A.Definisi Bistribusi Binomial
Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole).
B. Syarat Distribusi Binomial
1.      jumlah trial merupakan bilangan bulat  Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin2 ½ kali.
2.      Setiap eksperiman mempunya idua outcome (hasil). Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan, sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.                                                                 
3.      Peluang sukses sama setiap eksperimen.
Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

C. Ciri-ciri Distribusi Binomial.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1.      Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang dikehendakai, dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki)
2.      Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.
3.      Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.
4.      Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.





D. Penerapan  Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:

1.      Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar  dalam ujian pilihan ganda.
2.      Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.
3.      Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Rumus Distribusi Binomial

b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n
n : banyaknya ulangan
x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan


Contoh Distribusi Binomial :

1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :
a)      Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.
b)      Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas 
c)      Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja 
d)     Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas

Jawab :

a.X ≤ 2

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =
0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau
b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768
b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960
b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480
+Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208

b.X ≥ 1

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =
0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau
b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0)
1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)5
1 – 0.4437 = 0.5563

c.X = 2

b(2; 5, 0.25) = 0.2637

d.X ≤ 2 X ≤ 4

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528
Analisis masing – masing point :

a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.
b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).
c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.

Analisis keseluruhan :

A. Persentase
Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.

B. Nilai X
Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas .
Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.

2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ? 

Jawab :

 p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975

Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata – rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.

RATA – RATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIAL

Rata – rata μ = n . p
Ragam σ2 = n . p . q
n : ukuran populasi
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Contoh Rata – rata dan Ragam Distribusi Binomial :
Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20
q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80
maka :
m = 5 x 0.20 = 1
s2 = 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80
s = Ö 0.80 = 0.8944.








2.      Distribusi Poisson
A .Definisi Distribusi Poisson
Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.
Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

   B. Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.

Rumus pendekatannya adalah :
P ( x ; μ ) = e  μ . μ X
X ! Dimana : e = 2.71828
μ = rata – ratakeberhasilan = n . p
x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel
n = Jumlah / ukuran populasi
p = probabilitas kelas sukses

Contoh soal :
1.     Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.
2.      Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :
1.      Tidak ada kesalahan ( x = 0 )
2.      Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )
3.      Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)


Jawab :
1.      Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2
P ( x ; μ ) = e  μ . μ X
X!
= 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 %
3!
2.      Dik : μ = 5
a. x = 0 P ( x ; μ ) = e  μ . μ X
X!
P ( 0 ; 5 ) = 2.71828 – 5 . 5 0 = 0.0067
0!

b. x ≤ 3 ; P ( x ; μ ) = e  μ . μ X
X!
P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)
= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )
= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404
= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; μ ) = e  μ . μ X
X!
P (X > 3 , 5) = P( X 4, μ ) +….+p(X 15, μ)
= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau

P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ]
= 1 – [ P ( X 0, μ ) +….+ p (X 3, μ) ]
= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ]
= 1 – [ 0.2650 ]
= 73.5 %






C. Rumus Proses Poisson

Distribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1.      Tingkat kedatangan rata – rata setiap unit waktu adalah konstant.
Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata – rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata – rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2.      Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

3.      Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Rumus proses poisson :
P ( x ) = e λ . t . ( λ . t ) x
X! Dimana :λ = Tingkat rata – rata kedatangan tiap unit waktu
t = Jumlah unit waktu
x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

Contoh soal :
Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!
Jawab :
Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e λ . t . ( λ . t ) x
X!
P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ) . ( 72 . 1 / 20 ) 4
4!= 0.191 atau 19.1 %








Selasa, 13 Desember 2011

Makalah Statistika ( Ukuran Penyebaran Data )


Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Mengapa kita mempelajari ukuran penyebaran tersebut? Karena kita merasa bahwa mengetahui nilai tengah saja kurang cukup, tanpa disertai dengan pengetahuan tentang seberapa besar data tersebut menyebar disekitar nilai tengahnya. Dengan memahami unsur penyebaran data diharapkan kita tidak menarik kesimpulan yang salah.
Penyebaran adalah perserakan data individual terhadap nilai rata-rata. Penyebaran disebut juga dispersi. Data homogen memiliki penyebaran yang kecil, sedangkan data yang heterogen memiliki penyebaran yang besar.

  Kegunaan Ukuran Penyebaran :
-Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data / tidak
-Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb.
-Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran
  penyebaran sampel terhadap populasi.

Macam-macam ukuran penyebaran :
1.      Kuartil
Jika median dapat dikatakan sebagai ukuran perduaan maka kuartil dapat dikatakan sebagai ukuran perempatan. Jika ada sekelompok data tidak perlu semuanya berbeda diurutkan dari besar ke kecil atau sebaliknya dari kecil ke besar, kemudian dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Batas antar  yang pertama dengan  yang ketiga disebut kuartil pertama (K1 ), batas antara  yang kedua dengan  yang kedua disebut kuartil kedua (K2 ) dan batas antara ¼ yang ketiga dan  bagian yang terakhir disebut kuartil ketiga (K3 ).
                                                          n   n2      n3      n4
-----•-----•-----•-----
                                                                     K1        K2      K3
Jika banyak data ≥ 3, maka banyak data yang terletak di bawah K1=n1. Banyak data yang terletak di antara K1 dan K2 = n2, banyak data yang terletak di antara K2 dan K3 = n3 dan banyak data yang terletak diatas K3=n4, dimana n1=n2=n3=n4.

Untuk data tunggal, mencari letak kuartil dapat dicari dengan rumus :
Ki=  (n+1)
Ket       :           i  = urutan kuartil (1,2,3)
                 n = banyak data
Contoh
Tentukan kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3 dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9
jawab :
urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10
jumlah data (n) = 9
Letak K1                      = (9+1)
                                                = 2,5
1                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3-nilai data ke 2)
                        = 3 + (4-3)
                        = 3,5
Letak K2                      = (9+1)
­                        = 5
K2                             = data ke 5
                        = 6
Letak K3                      = (9+1)
                                                = 7,5
K3                             = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)
                        = 8 +  (9-8)
                        = 8,5
                                                               2 3 4 4 ⑥ 6 8 9 10
                                                       ↓       ↓       ↓
                                                       K1       K2      K3

Jadi, K1 terletak di antara data ke-2 dan ke-3, yaitu data ke2,5. K2 terletak pada data ke 5 dan K3 terletak di antara data ke-7 dan ke-8 yaitu data ke 7,5.

Untuk data kelompok, mencari letak kuartil dapat menggunakan rumus :
Ki= Bb + p []
Ket      :          
i           = urutan kuartil (1,2,3)
Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung Ki
p          = panjang kelas
n          = banyak data
Fk        = frekuensi kumulatif sebelum Ki
fKi         = frekuensi kelas interval yang mengandung Ki

contoh
Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval
frekuensi
21-23
5
24-26
12
27-29
13
30-32
6

Tentukanlah K2 dari tabel tersebut !
Jawab :
Mencari kelas K2,
 dari n adalah  x 36 = 18. Jadi, K2 terletak pada data ke 18.
kelas interval
frekuensi
Frekuensi kumulatif
21-23
5
5
24-26
12
17
27-29
13
30 → kelas K2
30-32
6
36

n=36

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 27-0,5
                                                            = 26,5
p          = 3
n          = 36
Fk        = 17
fK2      = 13
Maka,
K2= Bb + p []
K2= 26,5 + 3 []
     = 26,5 + 2 [0,08]
     = 26,5 + 0.16
     = 26,66

catatan :
Kuartil 2 sama dengan median. Karena sama-sama membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar.

2.      Desil
Sebenarnya, desil sama halnya seperti kuartil. Jika kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama besar, maka desil membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar. Jadi, desil juga dapat dikatakan persepuluhan.
                                   n1    n2     n3    n4     n5    n6     n7    n­8      n9     n10
-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----
                                      D1      D2    D3   D4     D5    D6   D7    D   D9

Untuk data tunggal,mencari desil dapat menggunakan rumus :
Di =  (n+1)
Ket      :           i  = urutan desil (1,2,3,…,9)
n = banyak data
contoh
Tentukan letak dan besar D8 dari data berikut ini !
1,2,3,5,7,9,9,10,12,13,15,20,21,22,24
Jawab :
n = 15
Letak D8             =  (15+1)
                 = 12,8
D8                      = data ke 12 + 0,8 (data ke 13 – data ke 12)
                       = 20 + 0,8 (21-20)
                       = 20,8

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :
Di= Bb + p []
Ket :
i           = urutan desil (1,2,3,…,9)
Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung Di
p          = panjang kelas
n          = banyak data
Fk        = frekuensi kumulatif sebelum Di
fDi         = frekuensi kelas interval yang mengandung Di

contoh
Tentukan D5 dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval
frekuensi
11-15
3
16-20
6
21-25
7
26-30
20
31-35
9
36-40
5
Jawab :
  dari n adalah  x 50 = 25. Jadi, D5 terletak pada data ke 25.

kelas interval
frekuensi
frekuensi kumulatif
11-15
3
3
16-20
6
9
21-25
7
16
26-30
20
36 → kelas D5
31-35
9
45
36-40
5
50

n = 50


Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 26-0,5
                                                            = 25,5
p          = 5
n          = 50
Fk        = 16
fKi       = 20
Maka,
D5= Bb + p []
D5= 25,5 + 5 []
     = 25,5 + 5 [0,7]
     = 25,5 + 3,5
     = 29

3.      Persentil
Persentil adalah ukuran alokasi yang paling halus karena pembagiannya 1 sampai dengan 99. Persentil membagi data menjadi seratus bagian, maka dapat dikatakan persentil adalah perseratusan.
                                      n1       n2    n3       n4        n5      n6       n7    …    n­100        
-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----
                                          P1       P2    P3       P4      P5     P6      …    P99
Untuk data tunggal, mencari persentil dapat menggunakan rumus :
Pi =  (n+1)
 Ket     :           i  = urutan persentil (1,2,3,…,99)
n = banyak data
contoh
Tentukan P87 dari jumlah data sebanyak 125 !
Jawab :
Letak P87         =  (125+1)
= 109,62
P87­                   = data 109 + 0,62(data ke 110 - data ke 109)

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :
Pi= Bb + p []
Ket :
i           = urutan persentil (1,2,3,…,99)
Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung Pi
p          = panjang kelas
n          = banyak data
Fk        = frekuensi kumulatif sebelum Pi
fPi          = frekuensi kelas interval yang mengandung Pi

contoh
Tentukan P56 dari data pada tabel distribusi frekuensi berikut !

kelas interval
frekuensi
1-10
12
11-20
57
21-30
67
31-40
70
41-50
16
51-60
15
61-70
3

Jawab :

  dari n adalah  x 240 = 134,4. Jadi, P56 terletak sekitar data ke 134.

kelas interval
frekuensi
Frekuensi kumulatif
1-10
12
12
11-20
57
69 → kelas P56
21-30
67
136
31-40
70
206
41-50
16
222
51-60
15
237
61-70
3
240

n = 240



Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 11-0,5
                                                            = 10,5
p          = 10
n          = 240
Fk        = 12
fPi        = 69
Maka,
P56= Bb + p []
P56= 10,5 + 10 []
     = 10,5 + 10 [1,8]
     = 10,5 + 18
     = 28,5

4.      Range
Range disebut juga rentang / jangkauan. Range adalah jarak antara data terbesar dengan data terkecil. Range dilambangkan dengan R.

Untuk data tunggal, cara mencari R adalah
R = nilai data maksimum – nilai data minimum
contoh
Perhatikan data berikut
33, 23, 12, 4, 7, 45, 15, 30, 3
Tentukan Range dari data tersebut !
Jawab :
Urutkan data dari yang terkecil menjadi terbesar
3, 4, 7, 12, 15, 23, 30, 33, 45
data maksimum           = 45
data minimum             = 3
R = 45 – 3
    = 42

Untuk data yang dikelompokkan, cara mencari R adalah
R = titik tengah kelas tertinggi – titik tengah kelas terendah
Contoh
Tentukan Range dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval
Frekuensi
1-4
7
5-8
13
9-12
21
13-16
9
Jawab :
kelas interval
Frekuensi
Titik tengah
1-4
7
2,5
5-8
13
6,5
9-12
21
10,5
13-16
9
14,5
R = 14,5 – 2,5
    = 12

5.      Rentang antar Kuartil (RAK) dan Rentang Semi Kuartil (RSK)
Rentang antar kuartil adalah jarak antara kuartil ke-3 (K3) dengan kuartil pertama (K1).
RAK = K3 – K1
Sedangkan rentang semi kuartil (RSK) atau bisa juga disebut simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil (RAK).
RSK =  (RAK)
         =  (K3 – K1)
Semua rumus ini berlaku untuk data tunggal dan kelompok.
contoh
Tentukan RAK dan RSK dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9
jawab :
urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10
jumlah data (n) = 9
Letak K1                      = (9+1)
                                                = 2,5
1                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3 - nilai data ke 2)
                        = 3 + (4-3)
                        = 3,5
Letak K2                      = (9+1)
­                        = 5
K2                     = data ke 5
                        = 6
Letak K3                      = (9+1)
                                                = 7,5
K3                     = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)
                        = 8 +  (9-8)
                        = 8,5
RAK      = K3 – K1
            = 8,5 – 3,5
            = 5
RSK      =  (RAK)
            =  (5)
            = 2,5

6.      Rata-rata Simpangan
Rata-rata simpangan adalah jarak antara tiap data dengan rata-ratanya. Rata-rata simpangan sering disimbolkan dengan RS.  Jadi, dapat dituliskan rumusnya menjadi :
RS =
ket
Xi           :           nilai tengah dari interval
          :           nilai rata-rata

Contoh
1.      Tentukan rata-rata simpangan dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !
Jawab :
banyak data = 9, jadi ∑f = 9
 =
   =
   = 5,8
Kemudian, cari xi -  ⃒ untuk setiap data
⃒2-5,8⃒ = 3,8
⃒3-5,8⃒ = 2,8
⃒4-5,8⃒ = 1,8
⃒4-5,8⃒ = 1,8
⃒6-5,8⃒ = 1,8
⃒6-5,8⃒ = 1,8
⃒8-5,8⃒ = 3,8
⃒9-5,8⃒ = 4,8
⃒10-5,8⃒ = 5,8
Ʃ xi -  ⃒ = 3,8 + 2,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 3,8 + 4,8 + 5,8
Ʃ xi -  ⃒ = 28,2
RS =
      =
      = 3,13
          
2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini
kelas interval
Frekuensi
1-4
7
5-8
13
9-12
21
13-16
9
Tentukan rata-rata simpangan dari tabel diatas !
Jawab :
kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
fxi

1-4
7
2,5
17,5

5-8
13
6,5
84,5

9-12
21
10,5
220,5

13-16
9
14,5
130,5


Ʃf = 40

Ʃfxi = 453

Pertama, kita akan mencari rata-ratanya terlebih dahulu
 =  
   =
   = 11,3
Lalu, kita cari xi -  

kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
xi -  

1-4
7
2,5
8,8

5-8
13
6,5
4,8

9-12
21
10,5
0,8

13-16
9
14,5
3,2


Ʃf = 40

Ʃ xi -  = 17,6

Maka,
RS =
      =
      = 0,44
Catatan :
Rata-rata simpang mempunyai kelemahan yaitu, tidak dapat membedakan antara rentang yang lebih besar dengan rentang yang lebih kecil.

7.      Simpangan Baku
Simpangan baku disebut juga deviasi standar. Simpangan baku dari suatu rangkaian data adalah akar pangkat dua dari rata-rata kuadrat selisih nilai data individual terhadap mean rangkaian data itu. Varians adalah rata-rata hitung simpangan kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.
 Terdapat dua jenis rumus yang umum digunakan untuk simpangan baku, yaitu:
a.       Simpangan baku untuk Populasi (̠̠σ)
σ =
ket :     s = standar deviasi populasi
x = nilai pengamatan
m = mean populasi
N = jumlah pengamatan dalam populasi

b.      Simpangan baku untuk Sampel (s)
s =  
ket :     s = standar deviasi sampel
xi = nilai pengamatan
 = mean sampel
n = jumlah pengamatan dalam sampel

untuk data tunggal
s =
ket :
s           = simpangan baku
xi            = nilai setiap data
          = rata-rata
n          = jumlah data

untuk data berkelompok
s =
ket :
s           = simpangan baku
f           = frekuensi pada setiap kelas interval
xi            = nilai setiap data
          = rata-rata
n          = jumlah data

Oleh karena itu, kita harus memilih rumus yang sesuai dengan jenis data yang ada, yaitu data populasi atau data sampel. Jika data kita adalah data populasi gunakan rumus simpangan baku untuk populasi, dan jika data kita adalah data sampel, maka gunakan rumus simpangan baku untuk sampel.

Makna dan Kegunaan Simpangan Baku
Standar deviasi digunakan untuk membandingkan penyebaran atau penyimpangan dua kelompok data atau lebih. Apabila standar deviasinya kecil, maka hal tersebut menunjukkan nilai sampel dan populasi berkumpul atau mengelompok di sekitar nilai rata-rata hitungnya. Artinya karena nilainya hampir sama dengan nilai rata-rata, maka disimpulkan bahwa anggota sampel atau populasi mempunyai kesamaan. Sebaliknya, apabila nilai deviasinya besar, maka penyebarannya dari nilai tengah juga besar. Hal tersebut menunjukkan adanya nilai-nilai ekstrem baik yang tinggi maupun rendah. Standar deviasi yang besar juga menunjukkan adanya perbedaan jauh diantara anggota populasi. Oleh sebab itu, satandar deviasi yang tinggi biasanya dipandang kurang baik bila dibandingkan dengan standar deviasi rendah.
Contoh :
1.      Tentukan simpangan baku dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !
Jawab :
Pertama-tama, kita menghitung jumlah datanya, yaitu n = 9
Lalu, tentukan rata-ratanya
 =
   =
   = 5,8
Kemudian, kita tentukan masing-masing (xi-)2
(2-5,8)2          = (-3,8)2         = 14,44
(3-5,8)2          = (-2,8)2         = 7,84
(4-5,8)2          = (-1,8)2                 = 3,24
(4-5,8)2          = (-1,8)2         = 3,24
(6-5,8)2          = (1,8)2          = 3,24
(6-5, 8)2                   = (1,8)2          = 3,24
(8-5,8)2          = (3,8)2          = 14,44
(9-5,8)2          = (4,8)2          = 23,04
(10-5,8)2        = (5,8)2          = 33,64
Ʃ ( xi -  )2 =  2(14,44) + 7,84 + 4(3,24) + 23,04 + 33,64
Ʃ ( xi -  )2 = 106,36
Jadi,
s =  
s =
s = 3, 65

2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini

kelas interval
Frekuensi
1-4
7
5-8
13
9-12
21
13-16
9

Tentukan simpangan baku dari tabel diatas !
Jawab :
Yang kita butuhkan pertama adalah ∑f, lalu kita cari rata-ratanya.

kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
fxi
1-4
7
2,5
17,5
5-8
13
6,5
84,5
9-12
21
10,5
220,5
13-16
9
14,5
130,5

n = 40

Ʃfxi = 453
 =  
   =
   = 11,3

Kemudian kita tentukan masing-masing (xi-)2  

kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
( xi -  )
( xi -  )2
f( xi -  )2
1-4
7
2,5
-8,8
77,44
542,08
5-8
13
6,5
-4,8
23,04
299,52
9-12
21
10,5
-0,8
0,64
13,44
13-16
9
14,5
3,2
10,24
92,16

Ʃf = 40

∑f( xi - )2= 947,2
Jadi,
s =
s =
s = 4,93

Selain cara diatas, ada cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan cara coding

s = p
ket :
p          = panjang kelas
fi          = frekuensi tiap kelas
d          = kode
n          = banyak data
























Daftar Pustaka
http://www.elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistik_industri1/bab4-ukuran_simpangan.pdf