Distribusi Binomial dan Poisson
Pembahasan
1. Distribusi
Binomial
A.Definisi Bistribusi Binomial
Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas
yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai
dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam
sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi
angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label
“berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil
adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang
keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole).
B. Syarat
Distribusi Binomial
1.
jumlah trial merupakan bilangan bulat Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak
mungkin2 ½ kali.
2.
Setiap eksperiman mempunya idua outcome (hasil).
Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan, sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.
3.
Peluang sukses sama setiap eksperimen.
Contoh: Jika pada lambungan pertama
peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika
sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang
sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses
dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga
dilambangkan q, di mana q = 1-p.
C. Ciri-ciri Distribusi Binomial.
Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang
memiliki ciri-ciri percobaan Binomial
atau Bernoulli trial sebagai berikut :
1.
Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil :
sukses(hasil yang dikehendakai, dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki)
2.
Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.
3.
Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan
p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus
sama dengan satu.
4. Jumlah
percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.
D. Penerapan Distribusi Binomial
Beberapa kasus dimana distribusi
normal dapat diterapkan yaitu:
1.
Jumlah
pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian pilihan ganda.
2. Jumlah
asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.
3. Jumlah
lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.
Rumus
Distribusi Binomial
b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n
n : banyaknya ulangan
x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan
Contoh Distribusi Binomial :
1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :
a)
Paling
banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.
b) Paling sedikit 1 di antaranya
menyatakan kurang puas
c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa
saja
d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas
Jawab :
a.X
≤ 2
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =
0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau
b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768
b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960
b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480
+Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208
b.X
≥ 1
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =
0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau
b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0)
1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)5
1 – 0.4437 = 0.5563
c.X = 2
b(2; 5, 0.25) = 0.2637
d.X ≤ 2 X ≤ 4
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528
Analisis masing – masing point :
a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.
b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).
c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.
Analisis keseluruhan :
A. Persentase
Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.
B. Nilai X
Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas .
Hal tersebut berarti kelima (semua)
turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.
2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?
2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?
Jawab :
p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2,
n = 4
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975
Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata – rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.
RATA – RATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIAL
Rata – rata μ = n . p
Ragam σ2 = n . p . q
n : ukuran populasi
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan
Contoh Rata – rata dan Ragam Distribusi Binomial :
Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20
q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80
maka : m = 5 x 0.20 = 1
s2 = 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80
s = Ö 0.80 = 0.8944.
2.
Distribusi Poisson
A .Definisi Distribusi
Poisson
Distribusi Poisson diberi nama sesuai
dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi ini merupakan
distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1,
2, 3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang
Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan
probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.
Rumus
Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan,
misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam
kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut
satuan waktu.
B. Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk
Binomial
Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang
Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas
sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan
probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan
ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20
dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih
mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.
Rumus pendekatannya adalah :
P ( x ; μ ) = e – μ . μ X
X ! Dimana : e = 2.71828
μ = rata – ratakeberhasilan = n . p
x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel
n = Jumlah / ukuran populasi
p = probabilitas kelas sukses
Contoh soal :
1.
Dua
ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika
probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada
3 orang yang tidak datang.
2.
Rata
– rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman.
Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :
1.
Tidak ada kesalahan ( x = 0 )
2.
Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3
)
3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 )
atau ( 4,…,15)
Jawab :
1. Dik
: n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2
P ( x ; μ ) = e – μ . μ X
X!
= 2.71828 – 2 . 2 3
= 0.1804 atau 18.04 %
3!
2.
Dik
: μ = 5
a. x = 0 P ( x ; μ ) = e – μ . μ X
X!
P ( 0 ; 5 ) =
2.71828 – 5 . 5 0
= 0.0067
0!
b. x ≤ 3 ; P ( x ; μ ) = e – μ . μ X
X!
P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)
= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5
)
= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404
= 0.2650 atau 26.5 %
c. X > 3 ; P ( x ; μ ) = e – μ . μ X
X!
P (X > 3 , 5) = P( X 4, μ ) +….+p(X 15, μ)
= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P
( 15, 5 ) atau
P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤
3 , 5 ) ]
= 1 – [ P ( X 0, μ ) +….+ p (X 3, μ) ]
= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5
) ]
= 1 – [ 0.2650 ]
= 73.5 %
C. Rumus Proses Poisson
Distribusi
Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai
ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu
bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam
kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval
waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya
mempunyai karakteristik sebagai berikut:
1. Tingkat kedatangan rata – rata setiap unit
waktu adalah konstant.
Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa
jika tingkat kedatangan rata – rata untuk periode jam adalah, misalkan 72
kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam
kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata – rata yaitu 36
kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.
2.
Jumlah
kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di
interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa
kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.
3.
Tidak
memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek,
semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih
dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak
mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam
waktu satu detik.
Rumus proses poisson :
P ( x ) = e –λ . t . ( λ . t ) x
X! Dimana :λ = Tingkat rata – rata kedatangan tiap unit
waktu
t = Jumlah unit waktu
x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu
Contoh soal :
Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t =
3 menit. Gunakan proses poisson.!
Jawab :
Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam
maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 =
1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4
P ( x ) = e –λ . t . (
λ . t ) x
X!
P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ) . ( 72 . 1 / 20 ) 4
4!= 0.191 atau 19.1 %
makasih guyzzz
BalasHapussama2..
BalasHapus