Makalah Statistika ( Ukuran Penyebaran Data )

Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Mengapa kita mempelajari ukuran penyebaran tersebut? Karena kita merasa bahwa mengetahui nilai tengah saja kurang cukup, tanpa disertai dengan pengetahuan tentang seberapa besar data tersebut menyebar disekitar nilai tengahnya. Dengan memahami unsur penyebaran data diharapkan kita tidak menarik kesimpulan yang salah.

Penyebaran adalah perserakan data individual terhadap nilai rata-rata. Penyebaran disebut juga dispersi. Data homogen memiliki penyebaran yang kecil, sedangkan data yang heterogen memiliki penyebaran yang besar.

  Kegunaan Ukuran Penyebaran :

-Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data / tidak

-Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb.

-Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran

  penyebaran sampel terhadap populasi.

Macam-macam ukuran penyebaran :

1.      Kuartil

Jika median dapat dikatakan sebagai ukuran perduaan maka kuartil dapat dikatakan sebagai ukuran perempatan. Jika ada sekelompok data tidak perlu semuanya berbeda diurutkan dari besar ke kecil atau sebaliknya dari kecil ke besar, kemudian dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Batas antar  yang pertama dengan  yang ketiga disebut kuartil pertama (K₁ ), batas antara  yang kedua dengan  yang kedua disebut kuartil kedua (K₂ ) dan batas antara ¼ yang ketiga dan  bagian yang terakhir disebut kuartil ketiga (K₃ ).

                                                          n₁     n₂      n₃      n₄

-----•-----•-----•-----

                                                                     K₁        K₂      K₃

Jika banyak data ≥ 3, maka banyak data yang terletak di bawah K₁=n₁. Banyak data yang terletak di antara K₁ dan K₂ = n₂, banyak data yang terletak di antara K₂ dan K₃ = n₃ dan banyak data yang terletak diatas K₃=n₄, dimana n₁=n₂=n₃=n₄.

Untuk data tunggal, mencari letak kuartil dapat dicari dengan rumus :

K_i=  (n+1)

Ket       :           i  = urutan kuartil (1,2,3)

                 n = banyak data

Contoh

Tentukan kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3 dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9

jawab :

urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10

jumlah data (n) = 9

Letak K₁                      = (9+1)

                                                = 2,5

K­₁                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3-nilai data ke 2)

                        = 3 + (4-3)

                        = 3,5

Letak K₂                      = (9+1)

­                        = 5

K₂                             = data ke 5

                        = 6

Letak K₃                      = (9+1)

                                                = 7,5

K₃                             = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)

                        = 8 +  (9-8)

                        = 8,5

                                                               2 3 4 4 ⑥ 6 8 9 10

                                                       ↓       ↓       ↓

                                                       K₁       K₂      K₃

Jadi, K₁ terletak di antara data ke-2 dan ke-3, yaitu data ke2,5. K₂ terletak pada data ke 5 dan K₃ terletak di antara data ke-7 dan ke-8 yaitu data ke 7,5.

Untuk data kelompok, mencari letak kuartil dapat menggunakan rumus :

K_i= Bb + p []

Ket      :          

i           = urutan kuartil (1,2,3)

Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung K_i

p          = panjang kelas

n          = banyak data

Fk        = frekuensi kumulatif sebelum K_i

fK_i         = frekuensi kelas interval yang mengandung K_i

contoh

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval	frekuensi
21-23	5
24-26	12
27-29	13
30-32	6

Tentukanlah K₂ dari tabel tersebut !

Jawab :

Mencari kelas K₂,

 dari n adalah  x 36 = 18. Jadi, K₂ terletak pada data ke 18.

kelas interval	frekuensi	Frekuensi kumulatif
21-23	5	5
24-26	12	17
27-29	13	30 → kelas K2
30-32	6	36
	n=36

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 27-0,5

                                                            = 26,5

p          = 3

n          = 36

Fk        = 17

fK₂      = 13

Maka,

K₂= Bb + p []

K₂= 26,5 + 3 []

     = 26,5 + 2 [0,08]

     = 26,5 + 0.16

     = 26,66

catatan :

Kuartil 2 sama dengan median. Karena sama-sama membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar.

2.      Desil

Sebenarnya, desil sama halnya seperti kuartil. Jika kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama besar, maka desil membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar. Jadi, desil juga dapat dikatakan persepuluhan.

                                   n₁    n₂     n₃    n₄     n₅    n₆     n₇    n_­8      n₉     n₁₀

-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----

                                      D₁      D₂    D₃   D₄     D₅    D₆   D₇    D₈     D₉

Untuk data tunggal,mencari desil dapat menggunakan rumus :

D_i =  (n+1)

Ket      :           i  = urutan desil (1,2,3,…,9)

n = banyak data

contoh

Tentukan letak dan besar D₈ dari data berikut ini !

1,2,3,5,7,9,9,10,12,13,15,20,21,22,24

Jawab :

n = 15

Letak D₈             =  (15+1)

                 = 12,8

D₈                      = data ke 12 + 0,8 (data ke 13 – data ke 12)

                       = 20 + 0,8 (21-20)

                       = 20,8

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :

D_i= Bb + p []

Ket :

i           = urutan desil (1,2,3,…,9)

Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung D_i

p          = panjang kelas

n          = banyak data

Fk        = frekuensi kumulatif sebelum D_i

fD_i         = frekuensi kelas interval yang mengandung D_i

contoh

Tentukan D₅ dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval	frekuensi
11-15	3
16-20	6
21-25	7
26-30	20
31-35	9
36-40	5

Jawab :

  dari n adalah  x 50 = 25. Jadi, D₅ terletak pada data ke 25.

kelas interval	frekuensi	frekuensi kumulatif
11-15	3	3
16-20	6	9
21-25	7	16
26-30	20	36 → kelas D5
31-35	9	45
36-40	5	50
	n = 50

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 26-0,5

                                                            = 25,5

p          = 5

n          = 50

Fk        = 16

fK_i       = 20

Maka,

D₅= Bb + p []

D₅= 25,5 + 5 []

     = 25,5 + 5 [0,7]

     = 25,5 + 3,5

     = 29

3.      Persentil

Persentil adalah ukuran alokasi yang paling halus karena pembagiannya 1 sampai dengan 99. Persentil membagi data menjadi seratus bagian, maka dapat dikatakan persentil adalah perseratusan.

                                      n₁       n₂    n₃       n₄        n₅      n₆       n₇    …    n_­100        

-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----

                                          P₁       P₂    P₃       P₄      P₅     P₆      …    P₉₉

Untuk data tunggal, mencari persentil dapat menggunakan rumus :

P_i =  (n+1)

 Ket     :           i  = urutan persentil (1,2,3,…,99)

n = banyak data

contoh

Tentukan P₈₇ dari jumlah data sebanyak 125 !

Jawab :

Letak P₈₇         =  (125+1)

= 109,62

P_87­                   = data 109 + 0,62(data ke 110 - data ke 109)

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :

P_i= Bb + p []

Ket :

i           = urutan persentil (1,2,3,…,99)

Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung P_i

p          = panjang kelas

n          = banyak data

Fk        = frekuensi kumulatif sebelum P_i

fP_i          = frekuensi kelas interval yang mengandung P_i

contoh

Tentukan P₅₆ dari data pada tabel distribusi frekuensi berikut !

kelas interval	frekuensi
1-10	12
11-20	57
21-30	67
31-40	70
41-50	16
51-60	15
61-70	3

Jawab :

  dari n adalah  x 240 = 134,4. Jadi, P₅₆ terletak sekitar data ke 134.

kelas interval	frekuensi	Frekuensi kumulatif
1-10	12	12
11-20	57	69 → kelas P56
21-30	67	136
31-40	70	206
41-50	16	222
51-60	15	237
61-70	3	240
	n = 240

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 11-0,5

                                                            = 10,5

p          = 10

n          = 240

Fk        = 12

fP_i        = 69

Maka,

P₅₆= Bb + p []

P₅₆= 10,5 + 10 []

     = 10,5 + 10 [1,8]

     = 10,5 + 18

     = 28,5

4.      Range

Range disebut juga rentang / jangkauan. Range adalah jarak antara data terbesar dengan data terkecil. Range dilambangkan dengan R.

Untuk data tunggal, cara mencari R adalah

R = nilai data maksimum – nilai data minimum

contoh

Perhatikan data berikut

33, 23, 12, 4, 7, 45, 15, 30, 3

Tentukan Range dari data tersebut !

Jawab :

Urutkan data dari yang terkecil menjadi terbesar

3, 4, 7, 12, 15, 23, 30, 33, 45

data maksimum           = 45

data minimum             = 3

R = 45 – 3

    = 42

Untuk data yang dikelompokkan, cara mencari R adalah

R = titik tengah kelas tertinggi – titik tengah kelas terendah

Contoh

Tentukan Range dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval	Frekuensi
1-4	7
5-8	13
9-12	21
13-16	9

Jawab :

kelas interval	Frekuensi	Titik tengah
1-4	7	2,5
5-8	13	6,5
9-12	21	10,5
13-16	9	14,5

R = 14,5 – 2,5

    = 12

5.      Rentang antar Kuartil (RAK) dan Rentang Semi Kuartil (RSK)

Rentang antar kuartil adalah jarak antara kuartil ke-3 (K₃) dengan kuartil pertama (K₁).

RAK = K₃ – K₁

Sedangkan rentang semi kuartil (RSK) atau bisa juga disebut simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil (RAK).

RSK =  (RAK)

         =  (K₃ – K₁)

Semua rumus ini berlaku untuk data tunggal dan kelompok.

contoh

Tentukan RAK dan RSK dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9

jawab :

urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10

jumlah data (n) = 9

Letak K₁                      = (9+1)

                                                = 2,5

K­₁                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3 - nilai data ke 2)

                        = 3 + (4-3)

                        = 3,5

Letak K₂                      = (9+1)

­                        = 5

K₂                     = data ke 5

                        = 6

Letak K₃                      = (9+1)

                                                = 7,5

K₃                     = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)

                        = 8 +  (9-8)

                        = 8,5

RAK      = K₃ – K₁

            = 8,5 – 3,5

            = 5

RSK      =  (RAK)

            =  (5)

            = 2,5

6.      Rata-rata Simpangan

Rata-rata simpangan adalah jarak antara tiap data dengan rata-ratanya. Rata-rata simpangan sering disimbolkan dengan RS.  Jadi, dapat dituliskan rumusnya menjadi :

RS =

ket

X_i           :           nilai tengah dari interval

          :           nilai rata-rata

Contoh

1.      Tentukan rata-rata simpangan dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !

Jawab :

banyak data = 9, jadi ∑f = 9

 =

   =

   = 5,8

Kemudian, cari ⃒ x_i -  ⃒ untuk setiap data

⃒2-5,8⃒ = 3,8

⃒3-5,8⃒ = 2,8

⃒4-5,8⃒ = 1,8

⃒4-5,8⃒ = 1,8

⃒6-5,8⃒ = 1,8

⃒6-5,8⃒ = 1,8

⃒8-5,8⃒ = 3,8

⃒9-5,8⃒ = 4,8

⃒10-5,8⃒ = 5,8

Ʃ ⃒ x_i -  ⃒ = 3,8 + 2,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 3,8 + 4,8 + 5,8

Ʃ ⃒ x_i -  ⃒ = 28,2

RS =

      =

      = 3,13

          

2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini

kelas interval	Frekuensi
1-4	7
5-8	13
9-12	21
13-16	9

Tentukan rata-rata simpangan dari tabel diatas !

Jawab :

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	fxi
1-4	7	2,5	17,5
5-8	13	6,5	84,5
9-12	21	10,5	220,5
13-16	9	14,5	130,5
	Ʃf = 40		Ʃfxi = 453

Pertama, kita akan mencari rata-ratanya terlebih dahulu

 =  

   =

   = 11,3

Lalu, kita cari ⃒ x_i -  ⃒

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	⃒ xi -  ⃒
1-4	7	2,5	8,8
5-8	13	6,5	4,8
9-12	21	10,5	0,8
13-16	9	14,5	3,2
	Ʃf = 40		Ʃ ⃒ xi -  ⃒= 17,6

Maka,

RS =

      =

      = 0,44

Catatan :

Rata-rata simpang mempunyai kelemahan yaitu, tidak dapat membedakan antara rentang yang lebih besar dengan rentang yang lebih kecil.

7.      Simpangan Baku

Simpangan baku disebut juga deviasi standar. Simpangan baku dari suatu rangkaian data adalah akar pangkat dua dari rata-rata kuadrat selisih nilai data individual terhadap mean rangkaian data itu. Varians adalah rata-rata hitung simpangan kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.

 Terdapat dua jenis rumus yang umum digunakan untuk simpangan baku, yaitu:

a.       Simpangan baku untuk Populasi (̠̠σ)

σ =

ket :     s = standar deviasi populasi

x = nilai pengamatan

m = mean populasi

N = jumlah pengamatan dalam populasi

b.      Simpangan baku untuk Sampel (s)

s =  

ket :     s = standar deviasi sampel

x_i = nilai pengamatan

 = mean sampel

n = jumlah pengamatan dalam sampel

untuk data tunggal

s =

ket :

s           = simpangan baku

x_i            = nilai setiap data

          = rata-rata

n          = jumlah data

untuk data berkelompok

s =

ket :

s           = simpangan baku

f           = frekuensi pada setiap kelas interval

x_i            = nilai setiap data

          = rata-rata

n          = jumlah data

Oleh karena itu, kita harus memilih rumus yang sesuai dengan jenis data yang ada, yaitu data populasi atau data sampel. Jika data kita adalah data populasi gunakan rumus simpangan baku untuk populasi, dan jika data kita adalah data sampel, maka gunakan rumus simpangan baku untuk sampel.

Makna dan Kegunaan Simpangan Baku

Standar deviasi digunakan untuk membandingkan penyebaran atau penyimpangan dua kelompok data atau lebih. Apabila standar deviasinya kecil, maka hal tersebut menunjukkan nilai sampel dan populasi berkumpul atau mengelompok di sekitar nilai rata-rata hitungnya. Artinya karena nilainya hampir sama dengan nilai rata-rata, maka disimpulkan bahwa anggota sampel atau populasi mempunyai kesamaan. Sebaliknya, apabila nilai deviasinya besar, maka penyebarannya dari nilai tengah juga besar. Hal tersebut menunjukkan adanya nilai-nilai ekstrem baik yang tinggi maupun rendah. Standar deviasi yang besar juga menunjukkan adanya perbedaan jauh diantara anggota populasi. Oleh sebab itu, satandar deviasi yang tinggi biasanya dipandang kurang baik bila dibandingkan dengan standar deviasi rendah.

Contoh :

1.      Tentukan simpangan baku dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !

Jawab :

Pertama-tama, kita menghitung jumlah datanya, yaitu n = 9

Lalu, tentukan rata-ratanya

 =

   =

   = 5,8

Kemudian, kita tentukan masing-masing (x_i-)²

(2-5,8)²          = (-3,8)²         = 14,44

(3-5,8)²          = (-2,8)²         = 7,84

(4-5,8)²          = (-1,8)²                 = 3,24

(4-5,8)²          = (-1,8)²         = 3,24

(6-5,8)²          = (1,8)²          = 3,24

(6-5, 8)²                   = (1,8)²          = 3,24

(8-5,8)²          = (3,8)²          = 14,44

(9-5,8)²          = (4,8)²          = 23,04

(10-5,8)²        = (5,8)²          = 33,64

Ʃ ( x_i -  )² =  2(14,44) + 7,84 + 4(3,24) + 23,04 + 33,64

Ʃ ( x_i -  )² = 106,36

Jadi,

s =  

s =

s = 3, 65

2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini

kelas interval	Frekuensi
1-4	7
5-8	13
9-12	21
13-16	9

Tentukan simpangan baku dari tabel diatas !

Jawab :

Yang kita butuhkan pertama adalah ∑f, lalu kita cari rata-ratanya.

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	fxi
1-4	7	2,5	17,5
5-8	13	6,5	84,5
9-12	21	10,5	220,5
13-16	9	14,5	130,5
	n = 40		Ʃfxi = 453

 =  

   =

   = 11,3

Kemudian kita tentukan masing-masing (x_i-)²  

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	( xi -  )	( xi -  )2	f( xi -  )2
1-4	7	2,5	-8,8	77,44	542,08
5-8	13	6,5	-4,8	23,04	299,52
9-12	21	10,5	-0,8	0,64	13,44
13-16	9	14,5	3,2	10,24	92,16
	Ʃf = 40				∑f( xi - )2= 947,2

Jadi,

s =

s =

s = 4,93

Selain cara diatas, ada cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan cara coding

s = p

ket :

p          = panjang kelas

f_i          = frekuensi tiap kelas

d          = kode

n          = banyak data

Daftar Pustaka

http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0405%20Mat%202-3f.htm

http://www.elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistik_industri1/bab4-ukuran_simpangan.pdf