Assalamu;alaikum,,warahmatullahiwabarakatuh

Ahlan Wasahlan pi al khobarii

ma'annajah li jami'an....

Selasa, 13 Desember 2011

Makalah Statistika ( Ukuran Penyebaran Data )


Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Mengapa kita mempelajari ukuran penyebaran tersebut? Karena kita merasa bahwa mengetahui nilai tengah saja kurang cukup, tanpa disertai dengan pengetahuan tentang seberapa besar data tersebut menyebar disekitar nilai tengahnya. Dengan memahami unsur penyebaran data diharapkan kita tidak menarik kesimpulan yang salah.
Penyebaran adalah perserakan data individual terhadap nilai rata-rata. Penyebaran disebut juga dispersi. Data homogen memiliki penyebaran yang kecil, sedangkan data yang heterogen memiliki penyebaran yang besar.

  Kegunaan Ukuran Penyebaran :
-Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data / tidak
-Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb.
-Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran
  penyebaran sampel terhadap populasi.

Macam-macam ukuran penyebaran :
1.      Kuartil
Jika median dapat dikatakan sebagai ukuran perduaan maka kuartil dapat dikatakan sebagai ukuran perempatan. Jika ada sekelompok data tidak perlu semuanya berbeda diurutkan dari besar ke kecil atau sebaliknya dari kecil ke besar, kemudian dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Batas antar  yang pertama dengan  yang ketiga disebut kuartil pertama (K1 ), batas antara  yang kedua dengan  yang kedua disebut kuartil kedua (K2 ) dan batas antara ¼ yang ketiga dan  bagian yang terakhir disebut kuartil ketiga (K3 ).
                                                          n   n2      n3      n4
-----•-----•-----•-----
                                                                     K1        K2      K3
Jika banyak data ≥ 3, maka banyak data yang terletak di bawah K1=n1. Banyak data yang terletak di antara K1 dan K2 = n2, banyak data yang terletak di antara K2 dan K3 = n3 dan banyak data yang terletak diatas K3=n4, dimana n1=n2=n3=n4.

Untuk data tunggal, mencari letak kuartil dapat dicari dengan rumus :
Ki=  (n+1)
Ket       :           i  = urutan kuartil (1,2,3)
                 n = banyak data
Contoh
Tentukan kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3 dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9
jawab :
urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10
jumlah data (n) = 9
Letak K1                      = (9+1)
                                                = 2,5
1                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3-nilai data ke 2)
                        = 3 + (4-3)
                        = 3,5
Letak K2                      = (9+1)
­                        = 5
K2                             = data ke 5
                        = 6
Letak K3                      = (9+1)
                                                = 7,5
K3                             = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)
                        = 8 +  (9-8)
                        = 8,5
                                                               2 3 4 4 ⑥ 6 8 9 10
                                                       ↓       ↓       ↓
                                                       K1       K2      K3

Jadi, K1 terletak di antara data ke-2 dan ke-3, yaitu data ke2,5. K2 terletak pada data ke 5 dan K3 terletak di antara data ke-7 dan ke-8 yaitu data ke 7,5.

Untuk data kelompok, mencari letak kuartil dapat menggunakan rumus :
Ki= Bb + p []
Ket      :          
i           = urutan kuartil (1,2,3)
Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung Ki
p          = panjang kelas
n          = banyak data
Fk        = frekuensi kumulatif sebelum Ki
fKi         = frekuensi kelas interval yang mengandung Ki

contoh
Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval
frekuensi
21-23
5
24-26
12
27-29
13
30-32
6

Tentukanlah K2 dari tabel tersebut !
Jawab :
Mencari kelas K2,
 dari n adalah  x 36 = 18. Jadi, K2 terletak pada data ke 18.
kelas interval
frekuensi
Frekuensi kumulatif
21-23
5
5
24-26
12
17
27-29
13
30 → kelas K2
30-32
6
36

n=36

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 27-0,5
                                                            = 26,5
p          = 3
n          = 36
Fk        = 17
fK2      = 13
Maka,
K2= Bb + p []
K2= 26,5 + 3 []
     = 26,5 + 2 [0,08]
     = 26,5 + 0.16
     = 26,66

catatan :
Kuartil 2 sama dengan median. Karena sama-sama membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar.

2.      Desil
Sebenarnya, desil sama halnya seperti kuartil. Jika kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama besar, maka desil membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar. Jadi, desil juga dapat dikatakan persepuluhan.
                                   n1    n2     n3    n4     n5    n6     n7    n­8      n9     n10
-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----
                                      D1      D2    D3   D4     D5    D6   D7    D   D9

Untuk data tunggal,mencari desil dapat menggunakan rumus :
Di =  (n+1)
Ket      :           i  = urutan desil (1,2,3,…,9)
n = banyak data
contoh
Tentukan letak dan besar D8 dari data berikut ini !
1,2,3,5,7,9,9,10,12,13,15,20,21,22,24
Jawab :
n = 15
Letak D8             =  (15+1)
                 = 12,8
D8                      = data ke 12 + 0,8 (data ke 13 – data ke 12)
                       = 20 + 0,8 (21-20)
                       = 20,8

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :
Di= Bb + p []
Ket :
i           = urutan desil (1,2,3,…,9)
Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung Di
p          = panjang kelas
n          = banyak data
Fk        = frekuensi kumulatif sebelum Di
fDi         = frekuensi kelas interval yang mengandung Di

contoh
Tentukan D5 dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval
frekuensi
11-15
3
16-20
6
21-25
7
26-30
20
31-35
9
36-40
5
Jawab :
  dari n adalah  x 50 = 25. Jadi, D5 terletak pada data ke 25.

kelas interval
frekuensi
frekuensi kumulatif
11-15
3
3
16-20
6
9
21-25
7
16
26-30
20
36 → kelas D5
31-35
9
45
36-40
5
50

n = 50


Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 26-0,5
                                                            = 25,5
p          = 5
n          = 50
Fk        = 16
fKi       = 20
Maka,
D5= Bb + p []
D5= 25,5 + 5 []
     = 25,5 + 5 [0,7]
     = 25,5 + 3,5
     = 29

3.      Persentil
Persentil adalah ukuran alokasi yang paling halus karena pembagiannya 1 sampai dengan 99. Persentil membagi data menjadi seratus bagian, maka dapat dikatakan persentil adalah perseratusan.
                                      n1       n2    n3       n4        n5      n6       n7    …    n­100        
-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----
                                          P1       P2    P3       P4      P5     P6      …    P99
Untuk data tunggal, mencari persentil dapat menggunakan rumus :
Pi =  (n+1)
 Ket     :           i  = urutan persentil (1,2,3,…,99)
n = banyak data
contoh
Tentukan P87 dari jumlah data sebanyak 125 !
Jawab :
Letak P87         =  (125+1)
= 109,62
P87­                   = data 109 + 0,62(data ke 110 - data ke 109)

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :
Pi= Bb + p []
Ket :
i           = urutan persentil (1,2,3,…,99)
Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung Pi
p          = panjang kelas
n          = banyak data
Fk        = frekuensi kumulatif sebelum Pi
fPi          = frekuensi kelas interval yang mengandung Pi

contoh
Tentukan P56 dari data pada tabel distribusi frekuensi berikut !

kelas interval
frekuensi
1-10
12
11-20
57
21-30
67
31-40
70
41-50
16
51-60
15
61-70
3

Jawab :

  dari n adalah  x 240 = 134,4. Jadi, P56 terletak sekitar data ke 134.

kelas interval
frekuensi
Frekuensi kumulatif
1-10
12
12
11-20
57
69 → kelas P56
21-30
67
136
31-40
70
206
41-50
16
222
51-60
15
237
61-70
3
240

n = 240



Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 11-0,5
                                                            = 10,5
p          = 10
n          = 240
Fk        = 12
fPi        = 69
Maka,
P56= Bb + p []
P56= 10,5 + 10 []
     = 10,5 + 10 [1,8]
     = 10,5 + 18
     = 28,5

4.      Range
Range disebut juga rentang / jangkauan. Range adalah jarak antara data terbesar dengan data terkecil. Range dilambangkan dengan R.

Untuk data tunggal, cara mencari R adalah
R = nilai data maksimum – nilai data minimum
contoh
Perhatikan data berikut
33, 23, 12, 4, 7, 45, 15, 30, 3
Tentukan Range dari data tersebut !
Jawab :
Urutkan data dari yang terkecil menjadi terbesar
3, 4, 7, 12, 15, 23, 30, 33, 45
data maksimum           = 45
data minimum             = 3
R = 45 – 3
    = 42

Untuk data yang dikelompokkan, cara mencari R adalah
R = titik tengah kelas tertinggi – titik tengah kelas terendah
Contoh
Tentukan Range dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval
Frekuensi
1-4
7
5-8
13
9-12
21
13-16
9
Jawab :
kelas interval
Frekuensi
Titik tengah
1-4
7
2,5
5-8
13
6,5
9-12
21
10,5
13-16
9
14,5
R = 14,5 – 2,5
    = 12

5.      Rentang antar Kuartil (RAK) dan Rentang Semi Kuartil (RSK)
Rentang antar kuartil adalah jarak antara kuartil ke-3 (K3) dengan kuartil pertama (K1).
RAK = K3 – K1
Sedangkan rentang semi kuartil (RSK) atau bisa juga disebut simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil (RAK).
RSK =  (RAK)
         =  (K3 – K1)
Semua rumus ini berlaku untuk data tunggal dan kelompok.
contoh
Tentukan RAK dan RSK dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9
jawab :
urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10
jumlah data (n) = 9
Letak K1                      = (9+1)
                                                = 2,5
1                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3 - nilai data ke 2)
                        = 3 + (4-3)
                        = 3,5
Letak K2                      = (9+1)
­                        = 5
K2                     = data ke 5
                        = 6
Letak K3                      = (9+1)
                                                = 7,5
K3                     = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)
                        = 8 +  (9-8)
                        = 8,5
RAK      = K3 – K1
            = 8,5 – 3,5
            = 5
RSK      =  (RAK)
            =  (5)
            = 2,5

6.      Rata-rata Simpangan
Rata-rata simpangan adalah jarak antara tiap data dengan rata-ratanya. Rata-rata simpangan sering disimbolkan dengan RS.  Jadi, dapat dituliskan rumusnya menjadi :
RS =
ket
Xi           :           nilai tengah dari interval
          :           nilai rata-rata

Contoh
1.      Tentukan rata-rata simpangan dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !
Jawab :
banyak data = 9, jadi ∑f = 9
 =
   =
   = 5,8
Kemudian, cari xi -  ⃒ untuk setiap data
⃒2-5,8⃒ = 3,8
⃒3-5,8⃒ = 2,8
⃒4-5,8⃒ = 1,8
⃒4-5,8⃒ = 1,8
⃒6-5,8⃒ = 1,8
⃒6-5,8⃒ = 1,8
⃒8-5,8⃒ = 3,8
⃒9-5,8⃒ = 4,8
⃒10-5,8⃒ = 5,8
Ʃ xi -  ⃒ = 3,8 + 2,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 3,8 + 4,8 + 5,8
Ʃ xi -  ⃒ = 28,2
RS =
      =
      = 3,13
          
2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini
kelas interval
Frekuensi
1-4
7
5-8
13
9-12
21
13-16
9
Tentukan rata-rata simpangan dari tabel diatas !
Jawab :
kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
fxi

1-4
7
2,5
17,5

5-8
13
6,5
84,5

9-12
21
10,5
220,5

13-16
9
14,5
130,5


Ʃf = 40

Ʃfxi = 453

Pertama, kita akan mencari rata-ratanya terlebih dahulu
 =  
   =
   = 11,3
Lalu, kita cari xi -  

kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
xi -  

1-4
7
2,5
8,8

5-8
13
6,5
4,8

9-12
21
10,5
0,8

13-16
9
14,5
3,2


Ʃf = 40

Ʃ xi -  = 17,6

Maka,
RS =
      =
      = 0,44
Catatan :
Rata-rata simpang mempunyai kelemahan yaitu, tidak dapat membedakan antara rentang yang lebih besar dengan rentang yang lebih kecil.

7.      Simpangan Baku
Simpangan baku disebut juga deviasi standar. Simpangan baku dari suatu rangkaian data adalah akar pangkat dua dari rata-rata kuadrat selisih nilai data individual terhadap mean rangkaian data itu. Varians adalah rata-rata hitung simpangan kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.
 Terdapat dua jenis rumus yang umum digunakan untuk simpangan baku, yaitu:
a.       Simpangan baku untuk Populasi (̠̠σ)
σ =
ket :     s = standar deviasi populasi
x = nilai pengamatan
m = mean populasi
N = jumlah pengamatan dalam populasi

b.      Simpangan baku untuk Sampel (s)
s =  
ket :     s = standar deviasi sampel
xi = nilai pengamatan
 = mean sampel
n = jumlah pengamatan dalam sampel

untuk data tunggal
s =
ket :
s           = simpangan baku
xi            = nilai setiap data
          = rata-rata
n          = jumlah data

untuk data berkelompok
s =
ket :
s           = simpangan baku
f           = frekuensi pada setiap kelas interval
xi            = nilai setiap data
          = rata-rata
n          = jumlah data

Oleh karena itu, kita harus memilih rumus yang sesuai dengan jenis data yang ada, yaitu data populasi atau data sampel. Jika data kita adalah data populasi gunakan rumus simpangan baku untuk populasi, dan jika data kita adalah data sampel, maka gunakan rumus simpangan baku untuk sampel.

Makna dan Kegunaan Simpangan Baku
Standar deviasi digunakan untuk membandingkan penyebaran atau penyimpangan dua kelompok data atau lebih. Apabila standar deviasinya kecil, maka hal tersebut menunjukkan nilai sampel dan populasi berkumpul atau mengelompok di sekitar nilai rata-rata hitungnya. Artinya karena nilainya hampir sama dengan nilai rata-rata, maka disimpulkan bahwa anggota sampel atau populasi mempunyai kesamaan. Sebaliknya, apabila nilai deviasinya besar, maka penyebarannya dari nilai tengah juga besar. Hal tersebut menunjukkan adanya nilai-nilai ekstrem baik yang tinggi maupun rendah. Standar deviasi yang besar juga menunjukkan adanya perbedaan jauh diantara anggota populasi. Oleh sebab itu, satandar deviasi yang tinggi biasanya dipandang kurang baik bila dibandingkan dengan standar deviasi rendah.
Contoh :
1.      Tentukan simpangan baku dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !
Jawab :
Pertama-tama, kita menghitung jumlah datanya, yaitu n = 9
Lalu, tentukan rata-ratanya
 =
   =
   = 5,8
Kemudian, kita tentukan masing-masing (xi-)2
(2-5,8)2          = (-3,8)2         = 14,44
(3-5,8)2          = (-2,8)2         = 7,84
(4-5,8)2          = (-1,8)2                 = 3,24
(4-5,8)2          = (-1,8)2         = 3,24
(6-5,8)2          = (1,8)2          = 3,24
(6-5, 8)2                   = (1,8)2          = 3,24
(8-5,8)2          = (3,8)2          = 14,44
(9-5,8)2          = (4,8)2          = 23,04
(10-5,8)2        = (5,8)2          = 33,64
Ʃ ( xi -  )2 =  2(14,44) + 7,84 + 4(3,24) + 23,04 + 33,64
Ʃ ( xi -  )2 = 106,36
Jadi,
s =  
s =
s = 3, 65

2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini

kelas interval
Frekuensi
1-4
7
5-8
13
9-12
21
13-16
9

Tentukan simpangan baku dari tabel diatas !
Jawab :
Yang kita butuhkan pertama adalah ∑f, lalu kita cari rata-ratanya.

kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
fxi
1-4
7
2,5
17,5
5-8
13
6,5
84,5
9-12
21
10,5
220,5
13-16
9
14,5
130,5

n = 40

Ʃfxi = 453
 =  
   =
   = 11,3

Kemudian kita tentukan masing-masing (xi-)2  

kelas interval
frekuensi (f)
titik tengah (xi)
( xi -  )
( xi -  )2
f( xi -  )2
1-4
7
2,5
-8,8
77,44
542,08
5-8
13
6,5
-4,8
23,04
299,52
9-12
21
10,5
-0,8
0,64
13,44
13-16
9
14,5
3,2
10,24
92,16

Ʃf = 40

∑f( xi - )2= 947,2
Jadi,
s =
s =
s = 4,93

Selain cara diatas, ada cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan cara coding

s = p
ket :
p          = panjang kelas
fi          = frekuensi tiap kelas
d          = kode
n          = banyak data
























Daftar Pustaka
http://www.elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistik_industri1/bab4-ukuran_simpangan.pdf


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar